Početní i grafické řešení. Soustavy lineárních rovnic a nerovnic. 8. Kvadratické rovnice, rovnice s absolutní hodnotou. Početní a grafické řešení. 9. Kvadratické nerovnice, nerovnice s absolutní hodnotou. Početní a grafické řešení 10. Další typy rovnic a nerovnic: Logaritmické a exponenciální. 11. Další typy rovnic a nerovnic: Iracionální, s neznámou ve jmenovateli. 12. Goniometrické rovnice a nerovnice. 13. Posloupnosti (aritmetická a geometrická). 14. Zhodnocení semestru, zápočty. Na seminářích bude kladen důraz na praktické procvičování běžné středoškolské látky s ohledem na budoucí profesi posluchačů. Pozornost bude soustředěna především na témata, která nejsou obsahem přednášky z elementární aritmetiky, ale jejichž zvládnutí je nezbytné pro úspěšné absolvování studia učitelství 1. stupně základní školy. Během semestru budou zadány čtyři testy, jejichž úspěšné zvládnutí bude nutnou podmínkou získání zápočtu. Studijní aktivity a metody výuky Pracovní činnosti (dílny), Problémové metody (badatelské, výzkumné), Skupinová konzultace, Individuální konzultace, Cvičení Účast na výuce - 28 hodin za semestr Příprava na zápočet - 14 hodin za semestr Domácí příprava na výuku - 18 hodin za semestr Výstupy z učení Seminář je zaměřen na vybrané partie středoškolské matematiky - číselné obory, algebraické výrazy, elementární funkce, rovnice, nerovnice (lineární, kvadratická, s absolutní hodnotou), aritmetická a geometrická posloupnost.
\] Počet řešení se odvíjí od chování diskriminantu (výrazu pod odmocninou): • Pro \(p\in (-2, {}2)\) má rovnice dvě reálná řešení \[x_{1{, }2} = 1 \pm \frac{1}{2} \sqrt{4-p^2}. \] • Pro \(p\in (-\infty, -2)\cup(2, +\infty)\) má rovnice dvě komplexní řešení \[x_{1{, }2}=1 \pm i\frac{1}{2} \sqrt{p^2-4}. \] • Pro \(p=\pm 2\) má rovnice jeden reálný dvojnásobný kořen \[x_1 = x_2 = 1. \] 5. Nápověda V \(\mathbb{C}\) řešte rovnici \(x^2 + (1-i)x + 4 + 7i = 0\). Rovnice je kvadratická, vzorec pro výpočet kořenů platí i pro rovnice s komplexními koeficienty. 5. Řešení nápovědy Určeme kořeny rovnice x^2 + (1-i)x + 4 + 7i = 0. \] Ze vztahu pro kořeny máme x_{1{, }2}= \frac{-(1-i)\pm\sqrt{(1-i)^2 - 4(4+7i)}}{2}. Odmocninu určíme zvlášť. Nejprve zjednodušíme výraz pod odmocninou \small (1-i)^2 - 4(4+7i) = 1 - 2i + \underbrace{i^2}_{-1} - 16 - 28i = - 16 - 30i. \] Z tohoto komplexního čísla potřebujeme určit druhou odmocninu, tj. hledáme číslo \(\alpha + i\beta\) takové, že \sqrt{- 16 - 30i} &=& \alpha + i\beta \qquad | ^2 \\ - 16 - 30i &=& \alpha^2 + 2\alpha\beta i - \beta^2 \] Porovnáním reálných a imaginárních částí komplexních čísel na obou stranách máme soustavu -16 &=& \alpha^2 - \beta^2 \\ -30 &=& 2\alpha \beta, kde uhádneme řešení \(\alpha = 3, \beta = -5\).
V následujícím appletu můžete pomocí změny posuvníků pozorovat, jak vypadá graf funkce f: y = ax^2 při změně parametru a. Postup při grafickém řešení kvadratické rovnice: Rovnici upravíme na tvar ax^2 = -bx - c, kde a, b, c \in \mathbb{R} a x \in \mathbb{R} je neznámá. Levou stranu rovnice chápeme jako předpis funkce f: y = ax^2 a pravou stranu jako předpis funkce g: y = -bx - c. Sestojíme grafy funkcí f, g. Grafem funkce f: y = ax^2 je parabola s vrcholem v počátku [0, 0] a grafem funkce g je přímka, jak jsme si řekli již u lineárních rovnic. Přímka prochází body [0, -c], [-\frac{c}{b}, 0]. Řešením kvadratické rovnice jsou x -ové souřadnice průsečíků grafů funkcí f, g. Pro názornost se podívejme na následující applet, kde se opět dají měnit koeficienty v předpisu funkcí pomocí změny posuvníků. Množinou všech řešení kvadratické rovnice je: - \mathbb{K} = \left \{ x_1, x_2 \right \}, kde x_1, x_2 jsou x -ové souřadnice průsečíků přímky a paraboly, pokud přímka protíná parabolu ve dvou bodech.
Kvadratické rovnice Stejně jako u lineárních rovnic si stručně zopakujeme početní řešení kvadratické rovnice (podrobněji viz stránka rovnice a nerovnice) a větší pozornost budeme věnovat grafickému řešení kvadratické rovnice. Definice Nechť a, b, c jsou reálná čísla, kde a \neq 0. Potom rovnici ve tvaru ax^2 + bx + c = 0 nazýváme kvadratickou rovnicí s neznámou x \in \mathbb{M}. Početní řešení kvadratické rovnice Kvadratická rovnice může být neúplného tvaru, pokud je některý z koeficientů b, c roven nule, nebo tvaru úplného v případě b, c \in \mathbb{R \setminus \left \{0\right \}}. Neúplný tvar kvadratické rovnice Jak již bylo zmíněno, jde pouze o speciální případ kvadratické rovnice, kde je některý z koeficientů b, c nulový. b = 0..... ax^2 + c = 0..... ryze kvadratická rovnice x^2 = - \frac{c}{a} Množina \mathbb{M}, ve které rovnici řešíme (-\frac{c}{a}) Kořeny \mathbb{R} (-\frac{c}{a}) = 0 x_1 = x_2 = 0 (-\frac{c}{a}) > 0 x_{1, 2} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} (-\frac{c}{a}) < 0 \emptyset \mathbb{C} (-\frac{c}{a}) \ge 0 x_{1, 2} stejné jako v \mathbb{R} (-\frac{c}{a}) < 0 x_{1, 2} = \pm i \sqrt{\frac{c}{a}}, i \in \mathbb{C} c = 0..... ax^2 + bx = 0 Jde o kvadratickou rovnici bez absolutního členu.
Přesto lze snadno řešit, jde totiž o bikvadratickou rovnici, která lze snadno převést na rovnici kvadratickou substitucí \(s=x^2\). 3. Řešení nápovědy Bikvadratickou rovnici x^4 - 5x^2 - 36 = 0 \] převedeme substitucí \(s=x^2\) na rovnici s^2 - 5s - 36 = 0, \] což je rovnice kvadratická, jejíž kořeny jsou s_{1{, }2} = \frac{5\pm\sqrt{25+4{\cdot} 36}}{2} = \left\{\begin{array}{r}9\\-4\end{array}\right. \] Návratem k substituci dostáváme kořeny původní rovnice x_{1{, }2} = \pm\sqrt s_1 = \pm\sqrt{9} = \pm 3, x_{2{, }3} = \pm\sqrt s_2 = \pm\sqrt{-4} = \pm 2i. \] Rovnice má reálné koeficienty, proto je-li nějaké číslo kořenem, je kořenem i číslo komplexně sdružené, což je zde, jak vidíme, splněno. 4. Nápověda Je dána kvadratická rovnice \( 4x^2 - 8x + p^2 = 0. \) Proveďte diskuzi o počtu řešení vzhledem k \(p\in\mathbb{R}\). Tj. zkoumejte chování diskriminantu při různém \(p\). Řešení nápovědy Kořeny kvadratické rovnice \[4x^2 - 8x + p^2 = 0\] jsou x_{1{, }2}= \frac{8\pm\sqrt{64-16p^2}}{8} = 1 \pm \frac{1}{2} \sqrt{4-p^2}.
V případě, kdy \(D=0\) je \(x_1 = x_2 = \alpha \in\mathbb{R}\), což je v pořádku, reálné číslo je komplexně sdružené "samo k sobě". 2. Nápověda Nalezněte všechny kvadratické rovnice, které mají následující dvojici kořenů x_1 = 1+i, \qquad x_2 = 2+i. \] K sestavování kvadratických rovnic ze zadaných kořenů se budou hodit Vietovy vztahy, viz úloha Kořeny kvadratické rovnice. 2. Řešení nápovědy Pro kvadratickou rovnici ax^2 + bx + c = 0, \quad a\neq0, \] lze psát Vietovy vztahy \begin{eqnarray} x_1 + x_2 &=& -\frac{b}{a}, \\ x_1x_2 &=& \frac{c}{a}. \end{eqnarray} \] Hledáme rovnice s dvojicí kořenů \(x_1 =1+i\), \(x_2=2+i\). Dosazením 3+2i &=& -\frac{b}{a}, \\ \underbrace{(1+i)(2+i)}_{1+3i} &=& \frac{c}{a}. \] Odtud koeficienty \(b, c\) b &=\, -& a(3+2i), \\ c &=\, \phantom{-}& a(1+3i), \] Všechny hledané rovnice tedy mají tvar ax^2 - a(3+2i)x + a(1+3i) = 0, \quad a\in\mathbb{R}\setminus \lbrace 0 \rbrace. 3. Nápověda V \(\mathbb{C}\) řešte rovnici \(x^4 - 5x^2 - 36 = 0\). Rovnice není kvadratická, jedná se o rovnici čtvrtého stupně.